概要：我们曾经学了二进制以及八，十六及各种进制的整数，以及它们的加减乘除四则运算．大家必然会提问：与十进制分数、小数类似的二进制分数、小数，如何推广过来？一个二进制小数，不妨先讲纯小数：0＜n＜1，n＝0.b1b2b3…bi…，每个bi或为0，或为1．（bi不全为0，也不全为1）．……二进制小数的运算也和十进制小数运算相类似，差别在于这里是"逢二进一"，"退一还二"．十进制小数化为二进制小数，主要通过分数作中间媒介．例将（0.3）10化为二进制小数．（用（a）k表示k进位数）．这表示十进制有限小数可能化成二进制循环小数．本节重点讲二进制循环小数如何化为二进制分数．回忆十进制循环小数化分数，一是要学习推理中的思想方法，二是最好归纳成一个易用易记的公式．十进制循环小数化分数一般公式：这些公式的推导过程如下，请体会思想方法．齐，消去了让人"害怕"的无限长（虽然是循环）的小数）：至于混循环，只要借用已证得的
二进制小数,标签：小学四年级教案范文,http://www.laixuea.com我们曾经学了二进制以及八，十六及各种进制的整数，以及它们的加减乘除四则运算．大家必然会提问：与十进制分数、小数类似的二进制分数、小数，如何推广过来？
一个二进制小数，不妨先讲纯小数：0＜n＜1，
n＝0.b1b2b3…bi…，每个bi或为0，或为1．（bi不全为0，也不全为1）．
……
二进制小数的运算也和十进制小数运算相类似，差别在于这里是"逢二进一"，"退一还二"．
十进制小数化为二进制小数，主要通过分数作中间媒介．
例将（0.3）10化为二进制小数．（用（a）k表示k进位数）．
这表示十进制有限小数可能化成二进制循环小数．
本节重点讲二进制循环小数如何化为二进制分数．回忆十进制循环小数化分数，一是要学习推理中的思想方法，二是最好归纳成一个易用易记的公式．
十进制循环小数化分数一般公式：
这些公式的推导过程如下，请体会思想方法．
齐，消去了让人"害怕"的无限长（虽然是循环）的小数）：
至于混循环，只要借用已证得的公式①，因为
其实公式②中，当s＝0时，就是公式①，复杂的公式②是借用简单情况下的公式①推来．推出后①包含在②之中．
对于二进制循环小数化二进制分数，也可同样推导．
至于二进制混循环小数：也记这小数的整体为S．
从推导和记忆规则看，公式（1）和（2）与十进制公式①和②相仿．那么读者一定会归纳出任意进制的循环小数化分数的公式．
解：用公式（1）
例3 化（0.100111011）2为二进制分数．
解：由公式（2）
直接检验
现在再看推导公式的方法，关键是把循环小数的值设为S，好比列方程设未知数，而10kS－S恰好消去了"烫手"的无限长的小数部分，推出"方
这样的思想，在研究等比数列时也用到了．以前讲过有限项数列：a1，a2，a3，…，ai，…，an．所谓等比数列，即它每一项都是前一项乘上一公共值q，也即：
a1，a2＝a1q，a3＝a2q，…，ai＝ai－1q，…，an＝an－1q，
或
a1，a2＝a1q，a3＝a1q2，…，ai＝a1qi－1，…，an＝a1qn－1．
现在要求出a1＋a2＋a3＋…＋ai＋…＋an．
思想方法：第一步：
设S＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1．
上式两边乘上q，作为第二步：
qS＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn．
当q＜1时，用上式两边减下式两边，得到
S－qS＝a1－a1qn，
公式（3）称为公比小于1的等比级数前n项求和公式．它叙述为：前n项和等于首项与首项乘公比的n次幂的差除以1与公比之差．
例4
最后以一个很精彩的例来结束本节（本例选自美国1993年第四十四届高中数学竞赛第30题．虽是高中竞赛题，但本讲知识可解此题）
例5 x0是任意取定的数，满足0≤x0＜1，对于所有的自然数n，xn由下述递推的关系式确定：
求使得x0＝x5的x0的个数．
分析 所谓递推关系式，就是一旦给定了一个初始值x0，例如取x0＝
总之，后项取决于前项的2倍值，当前项2倍值大于1时，就取该值；不小于1时（决不会超过2）就取它与1的差值．）
如果我们设x0是一个二进制小数，即设x0＝（0.d1d2d3…）2，那么
2x0＝（10）2×（0.d1d2d3…）2＝（d1·d2d3d4…）2，
即2x0。只是把x0的二进制表示中的小数点向右移一位．因此2x0<1相当于d1＝0，2x0≥1相当于d1＝1；那么按递推关系式的规定，x1变得特别简明：
x1＝（0.d2d3d4d5…）2．